Современные методы анализа процессов. Системный анализ и моделирование.Информационные процессы в сложных системах

Работа добавлена: 2018-08-29






ДисциплинаАНАЛИЗ И МОДЕЛИРОВАНИЕ ИНФОРМАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ ИС

СРМ №1

Тема:Современные методы анализа процессов. Системный анализ и моделирование.Информационные процессы в сложных системах

Временные ряды и их предварительный анализ

Задачи

1.Виды временных рядов.

2.Этапы предварительного анализа временных рядов.

3.Описательные характеристики временных рядов.

4. Простейшие приемы прогнозирования.

Основные определения

Прогнозирование – это научно обоснованное, основанное на системе установленных причинно-следственных связей и закономерностей, выявление состояния и вероятных путей развития явления или процесса.

Прогноз – это количественное вероятностное утверждение в будущем о состоянии объекта с относительно высокой степенью достоверности на основе анализа тенденций и закономерностей прошлого и настоящего.

Особенности прогноза:

Прогноз позволяет:

Основные группы методов прогнозирования

Основные этапы прогнозирования социальноэкономических процессов

Основные этапы прогнозирования социальноэкономических процессов: замечания

Рисунок 1 – Классификация прогнозов

Типология прогнозов: критерии и признаки

1) масштаб прогнозирования

-макро (страна)-, микро (предприятиие)-, мезо (отрасль, регион, комплекс)-экономический прогноз;

-структурный (межотраслевой и межрегиональный) прогноз;

2) горизонт прогнозирования

-оперативные (до 1 месяца);

-краткосрочные (от 1 месяца до 1 года) – для разработки безотлагательных решений

-среднесрочные (от 1 года до 5 лет);

-долгосрочные (от 5 лет до 15-20 лет) – чтобы наметить основной курс развития предприятия -дальнесрочные (свыше 20 лет).

Типология прогнозов: критерии и признаки

Применительно к комплексным национальным экономическим прогнозам принята следующая классификация:

Типология прогнозов: критерии и признаки

3) характер объекта

-научно-технический (развитие НТП, техническое прогнозирование) -демографический

-использования или количества природных ресурсов

-военно-политический

- динамики народного хозяйства и др.

4) цели

Типология прогнозов: критерии и признаки

5) степень информационной обеспеченности объектов прогнозирования

- объекты с полным обеспечением количественной информацией, для которых имеется в наличии ретроспективная количественная информация в объеме достаточном для реализации метода экстраполяции, либо статистического метода;

-объекты с неполным обеспечением количественной информацией; -объекты с наличием качественной ретроспективной информацией;

-объекты с полным отсутствием ретроспективной информации (как правило, это проектируемые и строящиеся объекты).

Основные определения

Временной ряд (yt,t=1,…T) –это последовательность упорядоченных  во  времени числовых показателей, характеризующих уровень состояния и изменения изучаемого явления.

Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов и при изучении ВР предполагается, что совокупное влияние этих факторов формирует общие закономерности в развитии процесса.

Русский крест - динамика общих коэффициентов рождаемости и смертности (на 1000 человек населения)

Особенности исследования временных рядов

Классификация временных рядов

Классификация временных рядов

по времени– моментные и интервальные.

В интервальном рядууровень ряда характеризует результат, накопленный или вновь произведенный за определенный интервал времени.

В моментном рядууровень ряда характеризует изучаемое явление в конкретный момент времени.

по форме представления уровней– ряды абсолютных, относительных и средних величин.

по расстоянию между датами или интерваламивыделяют полные (измерения сделаны в равноотстоящие моменты времени) и неполные (в неравноотстоящие) временные ряды.

по количеству фиксируемых характеристикизучаемого явления  выделяют одномерные ВР (одна характеристика/один объект), и многомерные временные ряды (при наблюдении нескольких характеристик выделенного объекта).

Условия правильного формирования временных рядов

Важное значение для исследования процесса имеет выбор ширины интервалов между соседними членами ряда.

Если выбрать слишком большой интервал, можно упустить существенные закономерности в динамике показателей, в то же время слишком малый интервал может привести к появлению ненужных деталей, то есть к засорению общей тенденции.

Условия правильного формирования временных рядов

Важнейшим условием правильного формирования временных рядов является сопоставимость уровней, образующих ряд.

Уровни ряда, подлежащие изучению, должны быть однородны по экономическому содержанию, и учитывать существо изучаемого явления и цель исследования.

Должна быть:

Этапы предварительного анализа временных рядов

1.Построение графика исходных данных

2.Расчет и анализ основных статистических показателей:

среднее, дисперсия, размах вариации и др.

3.Расчет абсолютных и относительных показателей динамики

4.Оценивание автокорреляционной и частной автокорреляционной функции исходного временного ряда

– Графическая форма представления ВР

Фактор времениt

Абсолютные показатели динамики (на цепной и  базисной основе)

Средние показатели динамики

Автокорреляционная функция (АКФ)

Одно из главных отличий последовательности наблюдений, образующих временной ряд, от случайной выборки заключается в том, что члены временного ряда являются, вообще говоря, статистически взаимозависимыми.

Степень тесноты статистической связи между двумя случайными величинами может быть измерена парным коэффициентом корреляции.

Поскольку в нашем случае коэффициент  измеряет корреляцию, существующую между членами одного и того же временного ряда, его принято называть коэффициентом автокорреляции.

При анализе изменения величины в зависимости от значенияпринято говорить об автокорреляционной функции.

Коррелограмма автокорреляционной функции

ВВП

Частная автокорреляционная функция (ЧАКФ)

С помощью этой функции реализуется идея измерения автокорреляции, существующей между разделеннымитактами времени членами временного рядаxtиxt+, при устраненном опосредованном влиянии на эту взаимозависимость всех промежуточных членов этого временного ряда.

Частная автокорреляционная функция (ЧАКФ)

Пример коррелограммы частной автокорреляционной функции (АКФ)  в ППП

Statistica

Простейшие методы прогнозирования

Прогнозирование в предположении абсолютной неизменности значений предшествующих уровней

Прогнозирование в предположении абсолютной неизменности значений предшествующих уровней в будущем исходит из утверждения, что каждое следующее прогнозное значение будет равно предыдущему значению признака, то есть

Метод прогнозирования на основе среднего уровня ряда

Метод прогнозирования на основе среднего уровня ряда используется для тех случаев, когда изменение уровней временных рядов носит стационарный характер

Метод среднего абсолютного прироста

Метод среднего темпа роста

Применение простейших методов прогнозирования

Критерии наличия тренда, основанные на знаках разностей

Критерий «восходящих» и «нисходящих» серий

Рисунок 1 – График временного ряда

СРМ №2

Тема: Математические модели принятия решений. Имитационные модели, системы, методы. Имитационные модели информационных процессов. Интеллектуальные средства имитации процессов.

Методом скользящей средней определяется прогнозное увеличение накладных расходов.  

Более простым способом выявления циклических колебаний процентных ставок является метод скользящей средней. По скользящей средней можно выравнивать как фактические данные ряда динамики, так и их процентные отношения к тренду. Суть этого метода заключается в том, что рассчитывается средний уровень из определенного числа первых по порядку уровней ряда (как правило, трех, пяти или семи), далее — средний уровень из такого числа уровней, начиная со второго, затем — начиная с третьего и т.д.

Выравнивание фактических уровней процентных ставок методом скользящей средней осуществляется следующим образом.

Для выявления циклической составляющей динамики валютного курса статистикой также используется выравнивание по ряду Фурье, поскольку циклические колебания являются разновидностью периодических, как и сезонные. Может применяться и метод скользящей средней. Период скольжения принимают, естественно, другой, соответствующий периоду циклических колебаний. В нашем примере сглаживание целесообразно проводить по 33-месячной скользящей средней .Период можно определить по графику и с помощью спектрального анализа, представив ряд в виде непрерывной функции, которую можно разложить на сумму бесконечного числа гармонических функций с периодом от 0 до 2л с различной амплитудой. Спектральной плотностью функции называется величина амплитуды гармоники в зависимости о г ее периода. Чем больше амплитуда (спектр) данной гармоники, тем сильнее в использованной функции присутствуют колебания с этим периодом.

Сущность сглаживания методом скользящей средней состоит в том, что по исходным уровням ряда (эмпирическим данным) определяют расчетные (теоретические) уровни, в которых случайные тенденции погашаются, а основная тенденция развития.

Для определения сглаженных уровней производится центрирование. При применении метода скользящей средней к ряду динамики месячных уровней рассчитывается 12-членная скользящая средняя.

Переменная средняя определяется методом скользящей средней или методом аналитического выравнивания.  

Таблица 7.3. Расчет методом скользящих средних

Метод скользящих средних позволяет сгладить ряд значений с тем, чтобы выделить тренд. При использовании этого метода берется среднее.

Существуют различные методы прогнозирования, учитывающие характер протекания процессов и значения случайной величины временного ряда. Если вариация средних значений незначительна, для прогноза на короткие интервалы времени применяется метод скользящего среднего. Если поздние значения временного ряда имеют большую значимость для прогноза, а начальные значения — меньшую, применяется метод экспоненциального сглаживания.  

Метод скользящего среднего

Метод скользящего среднего предполагает, что все наблюдения временного ряда имеют одинаковую значимость ( вес ) для прогноза. Каждое значение временного ряда, кроме начальных, участвует в формировании нескольких прогнозных значений.

Получить прогнозное значение сальдо счета 051 методом скользящего среднего. Последовательность действий.  

Другим методом выравнивания (сглаживания) временного ряда, т. е. выделения неслучайной составляющей, является метод скользящих средних. Он основан на переходе от начальных значений членов ряда к их средним значениям на интервале времени, длина которого определена заранее. При этом сам выбранный интервал времени скользит вдоль ряда.  

Пример 6.3. Провести сглаживание временного ряда у, по данным табл. 6.1 методом скользящих средних, используя простую среднюю арифметическую с интервалом сглаживания т = 3 года.

Таким образом, при использовании в оценке МПЗ метода средней себестоимости можно применять как метод обыкновенной средней, так и метод скользящей средней. При этом в случае неавтоматизированного бухгалтерского учета применение скользящей средней представляется более рациональным.

МЕТОДЫ СКОЛЬЗЯЩЕГО СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ И СГЛАЖИВАНИЯ

Существуют различные количественные методы прогнозирования. Интуитивные подходы основываются исключительно на прошлом опыте. Подходы, основанные на сглаживании, - это метод скользящего среднего и экспоненциальное сглаживание. Оба метода используют в качестве базы для прогнозирования взвешенное усредненное значение данных прошлых периодов.

Индексы сезонности показывают фактические колебания параметров рынка, соответствующие определенным сезонам, но они не полностью исключают влияние случайных и второстепенных факторов. Для того чтобы выявить закономерности сезонности, тенденции сезонной волны, необходимо сгладить эмпирические данные, ввести сезонную линию тренда. Наиболее простым способом выявления сезонной линии тренда служит механическое выравнивание динамического ряда, или, как его еще называют, метод скользящей средней. Его суть заключена в расчете средней величины из трех (пяти и более) уровней ряда, образованных последовательным исключением начального члена рада и замещения его следующим по порядку

Статистические методы. В 1970-е годы в техническом анализе распространилась новая методология, которая не зависела столь сильно от субъективной интерпретации тенденций, являющейся ключевым методом традиционной техники анализа. Эти методы, известные под названием статистических, предполагают отслеживание объективных сигналов торговли, которые оставляют мало места интерпретации при принятии трейдером решения о покупке или продаже ценных бумаг. Среди таких методов различают метод скользящей средней и метод колебаний.

Этот метод можно также применять в течение месяца на каждую дату выбытия ценных бумаг, используя оценку их остатка, определенную по методу средней себестоимости, на дату предшествующей операции (так называемый метод скользящей средней себестоимости).

Отметим, что критерий серий может служить фильтром для рассмотренного в предыдущем параграфе метода скользящих средних.

Чтобы применить метод скользящей средней капитала к вашему счету, вы должны рассчитать среднее вашего капитала (размера счета) за "X" дней и построить на той же диаграмме кривую реального капитала. Рис. 11.1 показывает кривую гипотетического изменения капитала, которую я получил благодаря разработанной мной системе. Реальная кривая капитала выделена жирной линией, в то время как кривая скользящей средней капитала показана более тонкой линией, которая проходит ниже кривой реального капитала в 80 процентах случаев. График, приведенный ниже, - это кривая капитала, которая получена в результате заключения торговых сделок сразу после проседания счета (капитала) ниже его среднего значения.  

Но, прежде чем вы "закидаете шапками метод скользящей средней капитала, нужно объяснить, для чего я привел этот пример. Я хотел наглядно показать, каковы могут быть самые плохие результаты, которые может дать произвольно выбранная система вообще. Скользящее среднее выбрано без какой-либо оптимизации. Этот пример доказывает, что использование метода скользящей средней капитала в торговле не исключает определенной степени риска. Риски необязательно приведут к убыткам, но из-за них вы можете упустить прибыль. Также обратите внимание на то, что мы прервали торговлю в период убытков, когда сделки не заключаются. Если бы мы продлили период убытков, то вы бы увидели, что ваш счет защищен от двух неприятностей, которые, оказывается, могут произойти, когда их меньше всего ждешь. Первая - это полный провал торговых систем. Если система дает серьезный сбой, то вы будете знать о большинстве сделок, которые могут привести к потерям. Я знаю достаточное количество таких систем, и ими пользуется большинство моих клиентов, которые много выиграли оттого, что избежали убытков свыше 30.000 долларов. Кроме того, меры по защите прибыли неплохо охраняют душевный покой самого трейдера.  

Это вторая причина, по которой данный метод не может считаться оптимальным методом управления капиталом. Между торгами нет никакой зависимости, поэтому сложно предсказать исходы последующих сделок после того, как размер капитала упадет ниже скользящей средней. Сегодня бытует мнение, что подобный тип торговли позволит вам совсем избавиться от убытков. Такое мнение основано на теории о том, что подъемы порождают падения, а падения порождают подъемы. Если вы прекращаете торговлю в начале периода убытков, вы останавливаетесь в самый неподходящий момент. Еще раз нужно отметить тот факт, что смысл использования метода скользящей средней капитала заключается не в том, чтобы увеличить потенциал прибыли. Нам приходиться думать и о тех случаях, когда проседание счета порождает еще большее проседание.  

Несмотря на некоторые недостатки, есть несколько способов усовершенствовать этот метод. Одна из причин проблем, уже упомянутых, выше, состоит в том, что скользящее среднее требует слишком быстрой остановки. Очевидным способом решения этой проблемы будет использование долгосрочного скользящего среднего. Однако это не устраняет другой источник проблем, связанных с этим методом. Скользящее среднее представляет собой среднее нескольких ранее наблюдаемых значений анализируемых активов. Оно не соответствует ситуации в текущий момент. Если порядок скользящей средней будет значительно выше, то задержка соответственно увеличится.

Этот метод требует, чтобы кривая реального текущего капитала двигалась ниже скользящей средней. Кроме того, существует еще дополнительное требование следующий уровень капитала должен быть ниже среднего, но в то же время очень близко к нему. Таблица 11.2. показывает результаты применения этого метода на том же примере, который приводился ранее для иллюстрации метода скользящей средней капитала. Применяя правило двух значений, близких к среднему, мы можем подняться до уровня 47.000 долларов, поддерживая убытки на том же уровне, что и в предыдущем примере. Помимо этого, дополнительное требование позволяет заключать меньше сделок, поэтому из 132 возможных состоялось всего 117 сделок.  [c.164]

Во-первых, определяется направление действующего краткосрочного тренда Здесь важно помнить, что большинство сигналов краткосрочных трендов поступают поздно. Поэтому простой линейной экстраполяции - сейчас было повышение, значит и позже будет рост - не получится. Для решения этой задачи используется метод скользящих средних и специального трендового индикатора "канат".

По этим причинам преимуществами метода скользящих средних — простотой использования и наглядностью — можно воспользоваться только в трендовом рынке, помня о неизбежном запаздывании и периодическом возникновении ложных сигналов. Кстати, если ложных сигналов слишком много, может, рынок стал боковым.

Используйте скользящие средние, но не слишком увлекайтесь. Как и все другие компьютерные методы, скользящие средние, являясь определенным типом аппроксимации, сами по себе ничего не определяют, а только позволяют наглядно сравнить ценовую кривую саму с собой.  

Простейший подход — расчет значений сезонной компоненты методом скользящей средней и построение аддитивной или мультипликативной модели временного ряда. Общий вид аддитивной модели следующий.

Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.

Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого

Y, можно рассчитать с помощью метода скользящей средней. Период скольжения для помесячных данных принимается равным 12 месяцам, для квартальных — 4. Для исключения сезонности фактические уровни делятся на соответствующие индексы сезонности. Также Y, можно получить, используя аппроксимирующее уравнение. Часто применяют известный ряд Фурье-. Устранение сезонности в этом случае достигается вычитанием Y, из Кфакт.

При использовании системы постоянного учета запасов используется метод "скользящей " средней себестоимости (moving average). В этом случае новая средняя стоимость (фактически — средневзвешенная) единицы рассчитывается каждый раз, когда делается закупка. В нашем примере.

Здесь формирование эндогенных и экзогенных данных осуществляется иначе, с использованием незначительно модифицированной идеи метода скользящей средней. Например, для расчета на II квартал 1985 г. предусматривается обработка по программе UREG фактических данных за межсезонье" по каждому продукту и нефтям (по сортам), т. е. за август, сентябрь, октябрь, январь, февраль и март 1981 —1983гг.  

После подробного рассмотрения метода скользящей средней капитала в торговле возникает вопрос относительно логики этого метода. В предыдущем примере приведенные результаты были несколько занижены для случая торговли при помощи скользящей средней. В таблице 11.1 дается разбивка по первоначальной серии из 132 сделок с 9-дневным средним, а затем показывается, какие сделки были заключены и почему. Если напротив сделки стоит знак ">", это означает, что следующая сделка была заключена потому, что размер капитала превысил среднее. Если напротив сделки стоит знак "<", это означает, что сделка не была заключена потому, что реальный размер капитала оказался ниже среднего. Обратите внимание на строку 21, где в результате проседания размер капитала снизился настолько, что следующая сделка не заключается. Строка 22 показывает выигрышную сделку на сумму в 1.718,50 доллара. Это сделка, которая не была заключена. В результате капитал вновь поднялся выше среднего, и торговля возобновляется. Ситуация повторяется между строками 43 и 44. К тому моменту, когда вы доберетесь до строки 63-72, вам будет казаться, что ситуация самовоспроизводится несколько раз, и при этом цена колеблется вокруг среднего. Каждый раз, когда скользящее среднее опускается вниз, это означает, что в соответствии с используемым методом следует приостановить заключение сделок. Кажется, дальше должна идти выигрышная торговля. Размер капитала должен подняться выше средней, но следующая сделка оказывается убыточной, и это вновь заставляет капитал опуститься ниже своей скользящей средней.  

Эти два простых правила торговли всегда будут удерживать вас на рынке. Есть и другие методы скользящей средней, которые дают ценовому тренду Польше времени для изменения. Например, некоторые трейдеры используют две скользящие средние одну краткосрочную (например, 5-дневную скользящую среднюю) и одну долгосрочную (скажем, 20-днепную скользящую среднюю). Длинную позицию держат, когда цена находится выше обеих.

СРМ №3

Нечеткие множества в задачах моделирования. Сети Петри и моделирование

Использование метода наименьших квадратов для оценки параметров кривых, имеющих асимптоты

Как уже было сказано выше, при применении метода трех сумм или особенно метода трех точек получают весьма грубые оценки параметров соответствующих кривых. (Сопоставление оценок, получаемых разными методами, в том числе методом трех точек и трех сумм, приведено ниже). Вместе с тем применение метода наименьших квадратов непосредственно для оценивания параметров кривых, имеющих асимптоты, связано с чисто математическими затруднениями. В самом деле, если мы попытаемся минимизировать, например, для логистической кривой сумму квадратов отклонений

то, взяв производные относительно неизвестных параметров а и Ь и приравняв их нулю, получим пару трансцендентных уравнений, при решении которых неминуемо возникнут существенные трудности. Однако положение не совсем безнадежное. Наиболее точное оценивание параметров может быть получено с помощью нелинейного метода наименьших квадратов. Процедура такого оценивания достаточно громоздка. Поэтому если требования к точности получаемых оценок не являются очень высокими, а так обычно и бывает, то можно воспользоваться некоторыми обходными путями, позволяющими применить МНК. К рассмотрению этих подходов мы и переходим.

УТОЧНЕНИЕ ОЦЕНОК С ПОМОЩЬЮ МНК

Для уточнения получаемых оценок кривых, имеющих асимптоты, П. Стонер предложил применять итерационную процедуру, основанную на МНК  —StoпегР.М.Fitting the Exponential Function andGompertz-FunctionЬуMethodofLeast Sguares.Јоцгпа1oftheAmericanStatisticalAsM)ciation,vol.Збр1941,р.515.

5Е. М. Четыркин. Рассмотрим этот подход применительно к оценке кривой Гомперца. Для этой кривОй, записанной какlogyt =log К +btlog а, можно построить систему нормальных уравнений:

2 log у, = п log

2 btlogyt= log(4.82) 2  у, — 10g

Пустьt = О, 1, , п— 1. Тогда преобразование этой системы после введения значений для сумм членов степенного ряда дает:loga(  )

=log1. (4.83)

Решим данную систему так, чтобы в результате в качестве неизвестного фигурировал только параметр Ь. Получим следующее громоздкое выражение:

Выражение (4.84) позволяет уточнить значение параметра Ь, полученное каким-либо приближенным способом.

Первоначально в правую и левую части выражения (4.83) подставляется некоторая оценка параметра Ь (например, можно получить ее с помощью метода трех сумм). Если эта оценка совпадает с оценкой метода наименьших квадратов, то будет иметь место равенство. Если же равенства нет, то оценку Ь следует изменить. Причем если левая часть выражения (4.83) больше правой, то оценку Ь уменьшают, и, наоборот, увеличивают оценку Ь, •если левая часть этого выражения меньше правой. Величина изменения Ь на каждой итерации зависит от принятой степени точности, с какой желательно получить параметр Ь. По-видимому, вполне достаточно изменение на 0,01. Итеративный процесс уточнения оценки продолжается до тех пор, пока знак «баланса» сторон не изменится на обратный. Тогда считается, что получена удовлетворительная точность оценки па аметра Ь. Затем на основе первых двух выражений системы (4. 2) можно оценить и другие параметры. Можно утверждать, что найденные оценки будут несколько смещены, поскольку нормальные уравнения строятся не для исходной функции, а для ее логарифмического преобразования. Для краткости ограничимся здесь ссылкой на аргументацию, которую мы привели в связи с оценкой параметров экспоненциальной кривой.

Распространим теперь метод Стонера на оценку параметров модифицированной экспоненты. В этом случае система нормальных уравнений примет вид:

 (4.85)

Заменив суммы членов степенного ряда соответствующими выражениями, получим:

(4.86)

2tbty

Наконец, решив систему (4.86) так, чтобы сохранился только неизвестный параметр Ь,• получим:

(4,87)

Аналогичный метод можно применить и при оценивании логистической кривой, записанной в виде

К +abt

Тогда в системе нормальных уравнений (4.85) и (4.86) вместо уе следует записать —-. Соответствующим образом трансформируется и выражение (4.87)

ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ С ПОМОЩЬЮ РЕГРЕССИИ

Попытаемся применить МНК для оценивания параметров модифицированной экспоненты. Выше (см. с. 48) мы утверждали, что логарифмы приростов этой кривой линейно зависят от переменнойt. Поэтому для оценивания параметров естественно использовать эту зависимость. Имеем:

log имloga +log (Ь— 1) +tlog Ь.

Две постоянные величины этого выраженияloga иlog (Ь можно объединить в одну постоянную, назовем ее т.logalog (Ь— 1),

откуда

log =z-Ftlog Ь. (4.88)

Параметры уравнения (4.88) можно получить любым из рассмотренных выше методов, применяемых для оценивания прямой, в том числе и путем составления и решения нормальных уравнений, которые для данного случая имеют вид:

2 logut+1 = z (п— 1) + log Ь • 2 6'

где п — число членов в исходном ряду.

Суммирование производится отt — 1 доt = п— 1.

Имея оценки иlog Ь, легко находимloga = — 1), а следовательно, и параметр а.

В связи с предлагаемым подходом к оцениванию надо сделать одно замечание. Этот метод применим лишь в тех случаях, когда ряд изменяется монотонно или близок к монотонности, т. е. тогда, когда значения приростов положительны и можно найти их логарифмы. Если все же имеются некоторые отрицательные отклонения (а так чаще всего и бывает), то от них иногда можно освободиться, применив предварительное сглаживание • ряда по скользящей средней.

Существует и более общий подход, который дает возможность применить метод наименьших квадратов• при оценке данного класса кривых. Соответственно этому способу отыскивается такое преобразование уравнения кривой роста, которое является линейным относительно параметров. Задача, следовательно, сводится к- оценке этих параметров с помощью соответствующих регрессий.

Большинство из созданных для оценивания логистической кривой методов предусматривает раздельную оценку параметров. Сперва с помощью регрессии оцениваются параметры К и а уравнения

У—

Н-beat

а затем определяется параметр Ь.

Рассмотрим эти методы.

Методы Фишера и Готеллинга основываются на следующем. дифференцируя функцию (4.77) поt, получим:

= ау, ( 1 — 4). (4.89)

Разделим обе части (4.89) наyt:

dytdt  •Yt1 “ (1-4). (4.90)

Не СКOЛЬКО преобразуем выражение (4.90), представив его в виде линейной

(4.91)

Последнее выражение показывает, что относительный прирост логистической кривой (темп прироста) падает пропорционально достигнутому уровню. Задача теперь заключается в том, чтобы найти значения производных и ть Однако динамические ряды не дают возможности определитьdy/dt, и, следовательно, ть Поэтому оценивание производят одним из следующих двух способов. Согласно Фишеру, который предполагал, что интервалы между уров•нями в динамическом ряду равны,Tt приближенно оценивается в виде натурального логарифма от средней геометрической двух цеп-

.ных темпов роста. Для моментаt эта величина составит:

откуда  с, — 2ln (4.92)

Располагая значениями ч, нетрудно построить систему нормальных уравнений для оценки регрессии (4.91). Запишем эту систему:

 (4.93)

Суммирование везде производится отt = 2 доt = п— 1, Ёде п — число членов в динамическом ряду; первый и последний члены ряда выпадают при исчислении темпа роста. Решение этой системы относительно неизвестных параметров дает:

(4.94)

(4.95)

Располагая этими коэффициентами, легко определить значение К.

Метод Готеллинга отличается от метода Фишера только способом аппроксимации значений темпов прироста т. Причем при определении темпов не предполагается, что уровни ряда равно отстоят друг от' друга. Аппроксимация достигается путем преобразования последовательных разностей. При равенстве временных интервалов между уровнями ряда результат оценивания почти не отличается от результата, получаемого с помощью метода Фишера. Практическое применение метода связано с целым рядом трудностей. В частности, результаты ненадежны, если первоначальные ряды данных содержат ошибки2.Поэтому далее на этом способе мы останавливаться не будем.

Hott е 11in g Н. Differential equations subject to error and population .estimates. The Journal of American Statistical Association, vol. 22, 1927, р. 283— 324.

2См.: Тинт нер Г. Введение в эконометрию (Пер. с нем.). М., «Статистика», 1965, с. 290.

Метод Юла основывается на свойстве, согласно которомуyt+1 —Yi

или

Yt+1 —Yt (4.96)

Таким образом, темп прироста представлен как линейная функция уровня ряда. Отсюда можно найти соответствующую регрес-

Ун-т—У

сию наyt+1. Систему нормальных уравнений запишем в виде:

(4.97)

2ctYt+1=a2Yt+72y;,

где

Yt+l — У!

Суммирование производится отt = 1 доt = п— 1. Здесь п— чис-

ло. членов в исходном динамическом ряду.

Решение этой системы имеет следующий вид:

(4.98)

Можно найти еще одно линейное преобразование логистической функции. Определим для этого разность между двумя обратНЫМИ значениями соседних членов ряда, развивающихся по логистическому закону:

(4.99)

Отсюда

(4.100)

Родс2предложил оценку параметров а и К основывать на выражении (4.100).Таким образом, имеется регрессия на

Ј и 1 G. V. The Growth of populati6n and the factors which control it. The2Journa1 R ho des of the Е. Royal С. Population statistical mathematics. Society, vol. Journal 88, 1925. о? . the 1—58.Royal statistical

Society, vol. 103, 1940, р. 362—387,

с коэффициентами И . Система нормальных уравнений в данном случае имеет вид:

2— (4.101)

Yt+1

2—

yt+1

Суммирование здесь производится отt = 1 доt = п— 1. Решение системы (4.101) относительно параметров и дает следующий результат:

(4.102)

Как и выше, п означает число членов в исходном ряду динамики. В заключение обзора методов оценивания параметров а и К логистической кривой остановимся на методе К. Нейра1. Последний, используя соотношение (4.99), определял регрессию разности обратных значений уровней ряда на их сумму, т. е. регрессию — на . Для того чтобы компактнее записать нормальные уравнения, примем:

(4.103)

(4.104)g=ea+ 1 . (4.105)

Тогда выражение (4.99) можно переписать в виде

2

Ztgvt• (4.1 Об)

Для оценки параметровg и 5- составим нормальные уравнения:Ezt=g-r (п— 1)—g2 Ч;

(4.107) g2dt.

N air К. Н. The Fitting of Growth Cut•ves. Statistics and Mathematics in Biology. Jova, 1954.

Суммирование здесь производится отt = до п— 1. Решение системы (4.107) относительно неизвестных параметровg иg-i дает следующие результаты:

Определим сперва значение -g. Затем исходя из найденного по первому уравнению системы (4.107) значенияg рассчитываем величину К. Еслиg-n = А, то К = Ц. Что касается параметра а» то его нетрудно найти на основе уравнения (4.05).Преобразование этого выражения дает

 (4.108)

откуда

Оценим теперь параметр Ь. Если параметры а и уже оценены» то в этом случае для оценивания Ь можно поступить следующим образом.Перепишем уравнение логистической кривой:

Прологарифмируем это выражение. Получим:

1)ln Ь —at,

откуда ln Ь = at 1n (4—0.(4.109)

Уравнение (4.109) может быть записано для каждого члена динамического ряда, т. е. дляt . , п. Найдем средние для обеих сторон уравнения:

После чего, имея в виду, что

получим:

ln 1). (4.110)

СРАВНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ

Для сравнения результатов, получаемых различными методами оценки, искусственным путем сконструируем ряд. Пусть параметры логистической кривой имеют следующие значения: К = 200, .а = 0,3, Ь = 35.Таким образом,

Наложим теперь на строгую закономерность в развитии случайные колебания. Пусть они составят до от И. Значения полученвых расчетных уровней ряда (yt ± ЕИ) показаны в гр. 2 табл. 4.8. В этой же таблице в гр. 3—7 показаны все необходимые для определения регрессий линейные и логарифмические преобразования уровней.

Таблица 4.8 ЛИНЕИНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

1

Yt+1

1 1

2

з

4

5

7

2 з 4

5

6

7

8

9

10

12

7,62

10,41

12.75

17,18

22.00

29,60

39,88

47,80

62,50

69,30

87,30

105,70

0,25735 о. 25046 0,27271 0,27199 о, 29739 0,23958

0,22463 0,18566 о. 16708 0,21104

0,36610

0,22478

0,34745

0,28055

0,34545 0,34720 о. 19859 о .30750 о, 10880 0,25970

0,21070

о. 13123 о. 09606 0,07843

о. 05821 о, 04545 0,03378

0,02508 0,02092 О. 01600

0,01443

0,01145

0,00946

0,22740 О. 17440 о, 13660

о. 07923 0,05885

0,04599

0,03692 0,03043 о 02588 0:02091

—0 , 03520

—0,01763

—0.02023

—0,01275

0,01167

—0 00871

—0,'00415

—0 , 00492

—0,00157

—0 , 00298

Определим теперь оценки параметров различными методами. Так, по методу Фишера получим следующую регрессиюTt на ус.R = 0,78.

Здесь и далееR — коэффициент корреляции. Так как а 0,2862

„и  0,001214, то

К

По методу Юла имеем:

как ев— 1 = 0,3326 и

К = —9.29—— 254,

0,001311

—22.2— 234.

0,001214

= 0,3326 — 0,00131 = 0,001311, то а— [пе = 1п

R = 0,52. Так Использовав метод Родса, получим следующую регрессию: К— 0,001241 + 0,7452;

Откуда = 0,745 и а = —ln 0,745 0,2943. В свою очередь параметр К определим следующим образом. Так как —0,001241

(см. 4.100), то

1 —0.745

205,4.

0,001241

Наконец, метод Нейра (4.106) дает: 0,001321 —0,145 (4-+4) ;

R 0,967.

Таким образом, получены следующие параметры регрессии:g-i —0,001321 и На основе (4.108) имеем

+0, 145

1,355 и а =

1 —0, 145

Так кач 2 к —0,001321, то

2

220.

0,001321

Параметр Ь оценим для всех вариантов расчета по формуле (4.1 Ю).

Так, для варианта оценивания по методу Фишера получим:0,2902+ 1)2 +112 2ln

Найденные таким путем значения параметров Приведены ниже в табл. 4.9. Опираясь на эти же данные, оценим параметры методом трех с мм (формулы (4.68)—(4.70)). Для этого разобьем ряд значений — (см. табл. 4.8, гр. 5) на три равные группы.Суммы для каждой из этих групп равны:

22+0,1252, 2 3+—0 — ,05134.

Соответственно

22 4; 0,2387

02 =22+—23  0,07389.

Откуда а = 4: оп 0,2387 —ln 0,07389) —0,2931; к = 4: (0,3639—219,6.

Для определения параметра Ь необходимо найти вспомогательную величину с:

(1 — е—па) • (1—е—4-0,2931)

= 2,717.

Тогда

0,23872

27,9.

Трехточечный метод для равноотстоящих друг от друга уровней 0,13123; 0,03078 и 0,01145 (см. табл. 4.8, гр. 5) дает следующие результаты:

Если же сдвинуть данные на один шаг, т. е. оценить параметры, взяв равноотстоящие уровни 0,09606, 0,02508 и 0,00946 (П вариант) , то получим:

к— 197,9 и

Все полученные выше результаты сведены в табл. 4.9.

Таблица 4.9

ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ ЛоГИсТИЧВсКоИ КРИВОЯ, поЛучвнныЕ

РАЗНЫМИ МЕТОДАМИ

Метод

Фишера

Юла

Родса

Нейра Метод трех сумм

Метод

1 вариант трех П вариант.

точек

0,29

0,39

0,29

0,29

0,29

0,29

0,30

234

254

205

220

220

208

198

38,8

34,1

34,6

37.2

27.9

26,3

24,5

0.78

0.52

0,997

0.968

Как легко убедиться при рассмотрении табл. 4.9, наилучшее“ приближение к исходным параметрам кривой дал метод Родса и затем Нейра. Соответствующие регрессии имели высокие значения коэффициентов корреляции.

Сделаем еще несколько замечаний, связанных с оцениванием параметров логистической кривой. Выше все рассуждения и пример относились к случаю, когда логистический процесс полностью проявился в прошлом. Однако далеко не всегда исследователь имеет перед собой такой ряд. Значительно чаще фактически наблюдаемый ряд охватывает не весь процесс развития, следующий логистическому закону, а лишь его часть. Поскольку методы оценивания основываются на определенных соотношениях уровнейг ряда, их приростов, темпов и т. д., то эти соотношения справедливы. как для всей кривой, так и для отдельных ее участков. Поэтому, если имеется отрезок ряда, в котором логистический характер развития полностью себя не проявил, однако есть основание принять гипотезу о наличии в целом логистического тренда, то этот отрезок ряда может быть аппроксимирован логистической кривой. Естественно, что точность и надежность полученных на основе неполного ряда наблюдений оценок ниже, чем при наличии полного объема информации.

Для илЛюстрации влияния числа наблюдений на значения параметров крйвой обратимся опять к нашему искусственно генери• рованному ряду (см. табл. 4.8) и оценим методом трех точек пара метр К, меняя длину ряда (число уровней от начала ряда). ПОД) чим следующий результат:

Длина ряда

5 —107

7 —410

9 165

Только последняя оценка близка к реальности. Что касаетсж первой и второй, то они просто не имеют смысла. Теперь возьмем три равноотстоящие точки, охватыйающие в целом семилетний период, и подсчитаем возможные значения К, сдвигая этот отрезок. времени на один шаг. Получим следующие «скользящие» значения К: —41 О;

Как вытекает из результатов приведеннбго эксперимента, применять метод трех точек в силу его малой надежности (особенно при небольшом числе наблюдений) надо в крайних случаях — только тогда, когда нет иной информации, кроме трех равноотстоящих точек. Мы остановились на этом методе здесь лишь только потому, что его иногда рекомендуют без каких-либо оговорок для оценивания при неполной информации1

Методы, основанные на регрессиях дают, вообще говоря, более надежные результаты. Так, по методу Нейра получены следующие оценки параметра К при изменении продолжительности наблюдений (измеряемого от начала ряда) :

Длина ряда

6 415

7

  1. 269
  2. 186
  3. 208
  4. 198

Bohm Е. Modelle fdr Entwicklungsprognosen itn Fernsprechwesen. UnivStuttgart, 1970.

Примерно такую же колеблемость в значении параметра при увеличении продолжительности наблюдений дает метод Родса. Следует, однако, отметить, что оценка параметра К наиболее чувствительна к объему и точности исходных данных и, как правило, относительная ее ошибка превышает ошибки в значении остальных параметров кривой. В ряде случаев даже методы, основанные на регрессиях, дают значения параметра К, которые явно выглядят нереальными, например, они оказываются меньшими, чем отдельные значения уровней. В этих случаях, по-видимому, следует прибегнуть к какому-либо итерационному способу корректирования оценок1. На одном из них мы останавливались выше (метод Стонера).

ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ при ЗАДАННОМ ЗНАЧЕНИИ АСИМПТОТЫ

ЕсЋь еще один прием, позволяющий применить МНК при оценке функций, имеющих асимптоты. Он заключается в приведении выраженћя соответствующей функции к линейному виду. Мы полагаем, что исследователь располагает некоторой информацией о возможном значении асимптоты.Обозначим эту оценку как Тогда модифицированную экспоненту (2.10) можно записать как

Откуда log (yt— loga+ tlog Ь. (4.111)

Параметрыloga иlogb теперь нетр9дно оценить обычным мето-

дом наименьших квадратов.

Аналогично подходим и к оцениванию логистической кривой. Несколько преобразовав уравнение (4.77), получим:

— 1beat.

Заменим на известную величину и прологарифмируем это выражение (Поскольку здесь имеется величина е, то удобнее применить натуральные логарифмы). Получим:

 (4.112)

Теперь можно применить МНК для оцениванияlnb и а, являющихся коэффициентами линейного уравнения.

Совсем недавно предложен иной итеративный путь корректировки параметров логистической кривой, который заключается в разложении функции в ряд Тейлора и применении МНК к ее приближению, полученному при разложении. В качестве первоначальных значений параметров кривой принимаются оценки, полученные каким-либо приближенным способом (Еet о О., Н ип у аdi 1.. ОпtheEstimationoftheparametersofthelogisticfunction. — Доклад на Европейской конференции эконометрического общества, Будапешт, 1972 г.).

Рассмотрим пример. Пусть исходя из некоторых соображений принята гипотеза, согласно которой асимптота логистической кривой для рассмотренного выше примера (см. табл. 4.8) равна, скажем, 210. Тогда, обозначив новые переменные символом у ' получим:

1).

Необходимые для оценивания параметров суммы имеют следующие значения:

2t=78;

2у; [—86,955; 1716.

Откуда (сб. (4.12) и (4.13)):

ln Ь =3,5884;

1716

Ь = 36,15;

— —0,2968.

Если априорная оценка асимптоты (Р) имеется для кривой Гомперца, то выражение (2.11) может быть слегка преобразовано:

-;-$ =abt.

После логарифмирования получим:

Ыloga

и log log( log (loga) а + tlog Ь. (4.113)

Таким образом, опять найдено линейное выражение, для оценки параметров которого можно применить метод наименьших квадратов.

СРМ №4

Модель Уинтерса с мультипликативной сезонностью




Возможно эти работы будут Вам интересны.

1. Системный анализ опасностей

2. Процессы массопереноса в системах c участием твердой фазы

3. Власть и бизнес в регионах России: современные процессы обновления региональных элит

4. Моделирование бизнес процессов

5. Методы обоснования начальной (максимальной) цены контракта: метод сопоставимых рыночных цен (анализа рынка), нормативный, тарифный, проектно-сметный, затратный методы. Случаи их применения

6. Микроэкономика: предмет и методы анализа

7. Сущность и виды цен на продукцию предприятия. Современные методы ценообразования

8. Корреляционный анализ случайных процессов

9. Конкурентная продуктовая стратегия и методы анализа портфеля продукции организации

10. Современные методы обучения, системы и виды организационных форм, дидактические средства в высшей школе